中国古代数学家刘徽在中.称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖 .如图.刘徽未能求得牟合方盖的体积.直言“欲陋形措意.惧失正理 .不得不说“敢不阙疑.以俟能言者．约200年后.祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同.则积不容异 .后世称为祖暅原理.即:两等高立体.若在每一等高处的截面积都相等.则两立体体积相等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”．约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．如图（3）（4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（　　）

A．

$\frac{1}{3}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

$\frac{8}{3}$

D．

$\frac{16}{3}$

分析设正方体的边长为2r，可得$\frac{1}{8}$V_正方体-$\frac{1}{8}{V}_{牟合方盖}=\frac{1}{3}{r}^{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}{V}_{正方体}$⇒V_牟合方盖=$\frac{2}{3}{V}_{正方体}$

解答设正方体的边长为2r，因为V_正方体=（2r）³=8r³，
$\frac{1}{8}$V_正方体-$\frac{1}{8}{V}_{牟合方盖}=\frac{1}{3}{r}^{3}$，
∴$\frac{1}{8}{V}_{\;}$_正方体-$\frac{1}{8}{V}_{牟合方盖}$$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}{V}_{正方体}$，
⇒V_牟合方盖=$\frac{2}{3}{V}_{正方体}$，
牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为$\frac{2}{3}$．
故选：B．

点评本题考查了数学文化，考查了阅读能力，推理能力，属于中档题．

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10．

椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{y{\;}^2}}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|＞2b点P（0，2）关于直线y=-x的对称点在椭圆Γ上，椭圆r的上、下顶点分别为A，B，△AF₁F₂的面积为$\sqrt{3}$，
（I）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）如图，过点P的直线l椭圆Γ相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．
（i）求$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$的取值范围；
（ii）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

7．设函数f（x）=x²+x+1．
（I）解不等式：|f（x+1）-f（x）|-|f（x）-f（x-1）|≤1；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{3}$≤$\frac{f（-x）}{f（x）}$≤3．

4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，-6），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=5，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为（　　）

1．已知集合A={x|x²-16＜0}，B={x|x²-4x-5≥0}．
（ I）求A∩B，A∪B；
（ II）求A∩（∁_RB）．

8．下列说法正确的是（　　）

	A．	当f′（x₀）=0时，f（x₀）为f（x）的极大值		B．	当f′（x₀）=0时，f（x₀）为f（x）的极小值
	C．	当f′（x₀）=0时，f（x₀）为f（x）的极值		D．	当f（x₀）为f（x）的极值时，f′（x₀）=0