Question

19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[-$\frac{π}{2}$，0]）的周期为π，将函数f（x）的图象沿着y轴向上平移一个单位得到函数g（x）图象，设g（x）＜1，对任意的x∈（-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{12}$）恒成立，当φ取得最小值时，g（$\frac{π}{4}$）的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据g（x）＜1得出-π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；再根据x∈（-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{12}$）得出-$\frac{2π}{3}$+φ＜2x+φ＜-$\frac{π}{6}$+φ，可求φ的范围，从而求出g（$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[-$\frac{π}{2}$，0]）的周期为π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2，f（x）=sin（2x+φ），
g（x）=sin（2x+φ）+1＜1，
∴sin（2x+φ）＜0，
∴-π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；
又x∈（-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{12}$），
∴-$\frac{2π}{3}$＜2x＜-$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{2π}{3}$+φ＜2x+φ＜-$\frac{π}{6}$+φ；
∴2kπ-$\frac{π}{3}$≤φ≤2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
又∵φ∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴-$\frac{π}{3}$≤φ≤0，
∴当φ取得最小值-$\frac{π}{3}$时，g（$\frac{π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）+1=$\frac{1}{2}+1$=$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，解题的关键是求出φ的取值范围，是综合性题目．