Question

14．若A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c．若向量$\overrightarrow{m}$=（cos2$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$-1），向量$\overrightarrow{n}$=（1，cos$\frac{A}{2}$+1）且2$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1．
（1）求A的值；         
（2）若a=2$\sqrt{3}$，三角形面积S=$\sqrt{3}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）直接由已知结合向量数量积的坐标运算求得cosA=-$\frac{1}{2}$，再结合A∈（0，π）求得A值；
（2）利用三角形的面积公式结合余弦定理列式求得b+c的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cos2$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$-1），向量$\overrightarrow{n}$=（1，cos$\frac{A}{2}$+1）且2$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1．
∴$co{s}^{2}\frac{A}{2}-si{n}^{2}\frac{A}{2}=-\frac{1}{2}$，
得cosA=-$\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}=\sqrt{3}$，得bc=4．
又由余弦定理得：${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{2π}{3}={b}^{2}+{c}^{2}+bc$．
∴16=（b+c）²，
∴b+c=4．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是基础题．