Question

4．设函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R且a≠0），若f（-1）=0，且对任意实数x不等式f（x）≥0恒成立．
（1）求实数a、b的值；
（2）若函数g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上为单调函数，求实数k取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0，可得a=b-1，结合对任意实数x不等式f（x）≥0恒成立，可得a＞0且△=b²-4a≤0，联立可得（b-2）²=0，由此求得a，b的值；
（2）由函数g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上为单调函数，可得g（x）=x²+（2-k）x+1在[-2，2]上为单调函数，由对称轴的范围求得实数k取值范围．

解答 解：（1）∵f（-1）=0=a-b+1=0，∴a-b+1=0，得a=b-1---①，
又∵对任意实数x不等式f（x）≥0恒成立，
∴函数f（x）=ax²+bx+1的图象开口向上，且与x轴的最多有一个交点，
得a＞0且△=b²-4a≤0---②，
由①代入②得：b²-4b+4=0，即（b-2）²=0，
∴b=2，从而a=1； 
（2）由（1）知f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=x²+（2-k）x+1，
若函数g（x）在[-2，2]上为单调函数，则有$-\frac{2-k}{2}≤-2$或$-\frac{2-k}{2}≥2$．
解得k≤-2或k≥2，
∴k∈（-∞，-2]∪[6，+∞）时，函数g（x）在[-2，2]上为单调函数．

点评 本题考查恒成立问题，考查二次函数性质的用法，考查二次函数的单调性，是中档题．