Question

已知函数f（x）=x²+2a1og₂（x²+2）+a²-3有且只有一个零点，则实数a的值为（　　）

• A、1
• B、-3
• C、2
• D、1或-3

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：先确定函数f（x）是偶函数，再由函数f（x）的零点个数有且只有一个故只能是f（0）=0，从而得到答案．

解答： 解：∵函数f（x）=x²+2a1og₂（x²+2）+a²-3，f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴y=f（x）的图象关于y轴对称，由题意知f（x）=0只有x=0这一个零点，
把（0，0）代入函数表达式得：a²+2a-3=0，
解得：a=-3（舍），或a=1，
令t=x₂，则f（x）=g（t）=t+2alog2（t+2）+a²-3．
当a=1时，g（t）=t+2log2（t+2）-2，
由于g（t）≥g（0）=0，当且仅当x=0时取等号，符合条件；
当a=-3时，g（t）=t-6log2（t+2）+6，
由g（30）=30-6×5+6＞0，g（14）=14-6×4+6＜0，
知f（x）至少有三个根，不符合．
所以，符合条件的实数a的值为1．
故答案选：A．

点评：本题主要考查函数零点的概念，要注意函数的零点不是点，而是函数f（x）=0时的x的值，属于中档题．