题目内容

12．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为ai（i=1，2，3，4），此四边形内在一点P到第i条边的距离记为hi（i=1，2，3，4），若$\frac{a_1}{1}=\frac{a_2}{3}=\frac{a_3}{5}=\frac{a_4}{7}$=k，则h1+3h2+5h3+7h4=$\frac{2S}{k}$．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi（i=1，2，3，4），若$\frac{S_1}{1}=\frac{S_2}{3}=\frac{S_3}{5}=\frac{S_4}{7}$=K，H1+3H2+5H3+7H4=（　　）
A．$\frac{V}{2K}$B．$\frac{2V}{K}$C．$\frac{3V}{K}$D．$\frac{V}{3K}$

分析 对三棱锥得体积可分割为4个已知底面积和高的小棱锥求体积，即可得出结论．

解答 解：根据三棱锥的体积公式V=$\frac{1}{3}Sh$
得：$\frac{1}{3}$S1H1+$\frac{1}{3}$S2H2+$\frac{1}{3}$S3H3+$\frac{1}{3}$S4H4=V，
即S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=3V，
∵$\frac{S_1}{1}=\frac{S_2}{3}=\frac{S_3}{5}=\frac{S_4}{7}$=k，
∴H1+3H2+5H3+7H4=$\frac{3V}{k}$，
故选C．

点评 本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．

练习册系列答案
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…
照此规律，当n∈N*（n≥2）时，$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}≥$$\root{n}{{{a_1}{a_2}…{a_n}}}$．
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（II）求证：AC⊥平面BCE； 
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A．（-∞，1）B．（1，+∞）C．（-∞，2）D．（2，+∞）

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