Question

已知圆C：x²+y²=4
（1）直线l过点p（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2

3

，求直线l的方程．
（2）过点P（1，2）作圆C的切线，切点分别为M，N．求△PMN外接圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）分类讨论：①当直线l垂直于x轴时；②若直线l不垂直于x轴．对于②，设其方程为y-2=k（x-1），结合直线与圆的位置关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．
（2）设动点P（x，y），M（x₀，y₀），则N（0，y₀），确定坐标之间的关系，再利用M点在圆上其坐标适合方程即可求得动点P的轨迹方程，最后利用方程的形式进行判断是什么曲线即可．

解答： 解：（1）当k存在时，设直线l的方程为：y-2=k（x-1）------------------------------1分
即：kx-y+2-k=0
∵圆心C到直线l的距离d=

22-( 3 )2

=1
∴

|2-k|

k2+1

=1----------------------------------------------------------------------------1分
化简得：4k-3=0，k=

3

4

---------------------------------------------------------1分，
∴直线l的方程为3x-4y+5=0
当k不存在时，x=1
与圆的两个交点坐标为(1，±

3

)，其距离为2

3

，满足题意-------------1分
综上所述，所求直线l的方程为：3x-4y+5=0，x-1=0------------------2分
（2）设动点P（x，y），M（x₀，y₀），则N（0，y₀）---------------------------------------1分
∵平行四边形OMPN，∴

x0=x y0= y 2

----------------------------------------------1分
又x02+y02=4，∴x2+

y2

4

=4------------------------------------------------2分
∵直线m∥x轴，∴y≠0
∴P点的轨迹方程是

x2

4

+

y2

16

=1(y≠0)--------------------------------------2分
轨迹是焦点坐标为F1(0，-2

3

)、F2(0，2

3

)，长轴为8的椭圆，
并去掉（±2，0），（0，±4）两点．------------------------------------------2分．

点评：本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、轨迹方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．