Question

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a≤

1

2

时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出当a=-1时的函数的导数，切线的斜率，切点坐标，再由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出f（x）的导数，令g（x）=ax²-x+1-a，x＞0，对a讨论，当a=0时，当a≠0时，①a=

1

2

，②若0＜a＜

1

2

，③当a＜0时，函数的单调性，写出单调区间即可．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=lnx+x+

2

x

-1（x＞0），
f′（x）=

1

x

+1-

2

x2

，f（2）=ln2+2，f′（2）=1，
则切线方程为：y=x+ln2；
（2）因为f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1，
所以f′（x）=

1

x

-a+

a-1

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，x＞0，
（i）当a=0时，g（x）=-x+1（x＞0），
所以当0＜x＜1时g（x）＞0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
x∈（1，∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0此时函数f，（x）单调递增．
（ii）当a≠0时，由f（x）=0，解得：x₁=1，x₂=1-

1

a

，
①a=

1

2

，函数f（x）在x＞0上单调递减，
②若0＜a＜

1

2

，在（0，1），（

1

a

-1，+∞）单调递减，在（1，

1

a

-1）上单调递增．
③当a＜0时，由于

1

a

-1＜0，
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
x∈（1，∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
综上所述：
当a≤0 时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在 （1，+∞）  上单调递增
当a=

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（0，1），（

1

a

-1，+∞）单调递减，
在（1，

1

a

-1）上单调递增．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．