Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）设AB，PA，BC的中点依次为M、N、T，求证：PB∥平面MNT；
（3）求异面直线AC与PB所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）通过证明CD⊥AD，PA⊥CD推出CD⊥平面PAD，利用平面与平面垂直的判定定理，证明平面PAD⊥平面PCD．
（2）连接MN，MT，NT证明MN∥PB，利用直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面MNT．
（3）说明∠NMT就是异面直线AC与PB所成角（或补角通过求解三角形，即可得到异面直线AC与PB所成的角的余弦值．

解答： （本小题12分）
（1）证明：∵∠BAD=90°，AB∥DC∴CD⊥AD
又∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD，∵PA∩AD=A，且PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴CD⊥平面PAD，又∵CD?平面PCD∴平面PAD⊥平面PCD…4′
（2）连接MN，MT，NT；∵M、N分别为AB、AP中点∴MN∥PB
∵MN?平面MNT，PB?平面MNT，∴PB∥平面MNT…7′
（3）解：∵AB中点M，AP中点N，BC中点T，则MN∥PB，MT∥AC
∴∠NMT就是异面直线AC与PB所成角（或补角）．…9′
∵PA=AD=DC=

1

2

AB=1，∴在RT△PAB中，PB=

5

，MN=

1

2

PB=

5

2

在RT△ADC中，AC=

2

，MT=

1

2

AC=

2

2

，在RT△ACT中，AT=

10

2

，
在RT△NAT中，NT=

11

2

，∴在△MNT中，cos∠NMT=-

10

5

故异面直线AC与PB所成的角的余弦值为

10

5

…12′

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，异面直线所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力能力．