Question

18．三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是（　　）

• A． 2π
• B． 4π
• C． 8π
• D． 16π

Answer 1

分析 PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大，最大值是$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求出PC=，三棱锥P-ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为三棱锥P-ABC的外接球的直径，即可得出结论．

解答 解：M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP就是直线AM与平面PBC所成角，
当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．
此时$\frac{AP}{PM}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，PM=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
在Rt△PBC中，PB•PC=BC•PM⇒PC=$\sqrt{{1}^{1}+P{C}^{2}}×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$⇒PC=$\sqrt{2}$．
三棱锥P-ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为$\sqrt{1+1+2}=2$，
∴三棱锥P-ABC的外接球的半径为R=1，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=4π．
故选：B．

点评 题考查三棱锥P-ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题