Question

6．在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，若以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ²-8ρsinθ+15=0．
（1）求曲线E的普通方程和椭圆C的参数方程；
（2）已知A，B分别为两曲线上的动点，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出曲线E的普通方程，根据cos²θ+sin²θ=1，求出椭圆C的参数方程即可；
（2）表示出AB的最大值，结合三角函数的性质求出其最大值即可．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ得：
x²+y²-8y+15=0，即x²+（y-4）²=1，
椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
化为参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$为参数）．
（2）${|{AB}|_{max}}={|{AE}|_{max}}+1=\sqrt{4{{cos}^2}θ+{{（{4-sinθ}）}^2}}+1=\sqrt{-3{{sin}^2}θ-8sinθ+20}+1$，
由sinθ∈[-1，1]，当sinθ=-1时，|AB|_max=6．

点评 本题考查了参数方程和普通方程以及极坐标方程的关系，考查三角函数的性质，是一道中档题．