Question

已知f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，-

3

sin2x），

b

=（cosx，1），x∈R．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=-1，a=

7

，且向量

m

=（3，sinB）与

n

=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积公式得到f（x）的解析式，然后化简求单调区间；
（2）利用向量共线，得到b，c的方程解之．

解答： 解：（1）由题意知f(x)=2cos2x-

3

sin2x=1+cos2x-

3

sin2x=1+2cos(2x+

π

3

)．3分
∵y=cosx在a₂上单调递减，∴令2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

∴f（x）的单调递减区间[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)，6分
（2）∵f(A)=1+2cos(2A+

π

3

)=-1，∴cos(2A+

π

3

)=-1，又

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，∴2A+

π

3

=π，即A=

π

3

，8分
∵a=

7

，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=7.10分
因为向量

m

=(3，sinB)与

n

=(2，sinC)共线，所以2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3c．
∴b=3，c=2.12 分．

点评：本题考查了向量的数量积公式的运用以及三角函数的化简与性质的运用．