Question

已知f（x）在（-1，1）上有定义，f(

1

2

)=1，且满足x，y∈（-1，1）时有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，数列{x_n}满足x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+xn2

．
（1）求f（0）的值，并证明f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）探索f（x_n+1）与f（x_n）的关系式，并求f（x_n）的表达式；
（3）是否存在自然数m，使得对于任意的n∈N*，

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞

m-8

4

恒成立？若存在，求出m的最大值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y⇒f（0）=0，再令x=0⇒f（-y）=-f（y），从而可证f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）依题意，可求得f（x_n+1）=2f（x_n），f（x₁）=f（

1

2

）=1，q=2，于是可求得f（x_n）的表达式；
（3）由f（x_n）=2^n-1⇒

1

f(xn)

=(

1

2

)n-1，利用等比数列的求和公式可求得

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=2-(

1

2

)n-1，再解不等式2-(

1

2

)n-1＞

m-8

4

，即可求得m的最大值．

解答： 解：（1）令x=y⇒f（0）=0，
令x=0⇒f（0）-f（y）=f（

0-y

1-0×y

）=f（-y），
∴f（-y）=-f（y）．
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）∵f（x_n+1）=f（

2xn

1+xn2

）=f（

xn-(-xn)

1-xn(-xn)

）=f（x_n）-f（-x_n）=2f（x_n），
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2（常数），
∴{f（x_n）}为等比数列．
又f（x₁）=f（

1

2

）=1，q=2，
∴f（x_n）=2^n-1．
（3）假设存在自然数m满足题设条件，
则

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1＞

m-8

4

对于任意的n∈N^*成立，
∴m＜16-

8

2n

对于任意的n∈N^*成立，
当n=1时，16-

8

2n

的最小值为12，
∴m＜12，即m的最大值为11．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与等比关系的确定，突出考查等比数列的求和与函数性质的综合应用，属于难题．