Question

19．函数y=x²在P（1，1）处的切线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（　　）

• A． 5
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根据导数求其切线的斜率，即$\frac{b}{a}$=2，再根据离心率公式计算即可．

解答 解：由于y=x²，
则y′=2x，
∴k=y′|_x=1=2，
∵函数y=x²在P（1，1）处的切线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，
∴$\frac{b}{a}$=2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
故选：B．

点评 本题考查了导数和几何意义以及双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．