Question

10．已知动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为$\frac{1}{2}$．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）若点A（-2，-2），B（-2，6），C（-4，2），是否存在点P，使得|PA|²+|PB|²+|PC|²=36．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用直接法，求动点P的轨迹方程；
（II）由|PA|²+|PB|²+|PC|²=36，可得3x²+3y²+16x-12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出结论．

解答 解：（I）设P（x，y），则
∵动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为$\frac{1}{2}$，
∴2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$，
∴x²+y²=4，即动点P的轨迹方程是x²+y²=4；
（II）由|PA|²+|PB|²+|PC|²=36，可得（x+2）²+（y+2）²+（x+2）²+（y-6）²+（x+4）²+（y-2）²=36，
∴3x²+3y²+16x-12y+32=0，
∵x²+y²=4，
∴4x-3y+11=0，
圆心到直线4x-3y+11=0的距离d=$\frac{11}{5}$＞2，
∴直线与圆相离，
∴不存在点P，使得|PA|²+|PB|²+|PC|²=36．

点评 本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．