Question

9．已知f（x）=x²-$\frac{a}{x}$（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（x）在（-∞，-2]上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a=0和a≠0，结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为a≤-2x³对x∈（-∞，-2]恒成立，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=x²，
对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=f（x），∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x²-$\frac{a}{x}$（a≠0，x≠0），取x=±1，
得f（-1）+f（1）=2≠0，f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，
综上，当a=0时，f（x）为偶函数；
当a≠0时，函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）f′（x）=2x+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
要使函数f（x）在x∈（-∞，-2]上为减函数，
则有f′（x）≤0在（-∞，-2]时恒成立，
即2x+$\frac{a}{{x}^{2}}$≤0恒成立，
即a≤-2x³对x∈（-∞，-2]恒成立，
故a≤16．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．