Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$a=2\sqrt{2}$，$cos2A=-\frac{7}{9}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-1$．
（Ⅰ）求b和c；
（Ⅱ）求sin（A-B）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式可求sinA，利用平面向量数量积的运算bccosA=-1＜0，根据同角三角函数基本关系式可得cosA，bc=3，又由余弦定理解得：b+c=2$\sqrt{3}$，联立即可解得b，c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用正弦定理可求sinB，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，cos2A=1-2sin²A=-$\frac{7}{9}$，解得：sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-1$，可得：bccosA=-1＜0，可得：cosA=-$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=-$\frac{1}{3}$，
解得：bc=3，①
又∵$a=2\sqrt{2}$，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得8=b²+c²+2，
∴解得：b²+c²=6，可得：（b+c）²-2bc=（b+c）²-6=6，解得：b+c=2$\sqrt{3}$，②
∴联立①②解得：b=c=$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）∵$a=2\sqrt{2}$，b=c=$\sqrt{3}$，sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$-（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．