Question

9．已知函数f（x）=$\frac{b}{x-a}$的图象过点A（0，$\frac{3}{2}$），B（3，3）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（3）若m，n∈（2，+∞）且函数f（x）在[m，n]上的值域为[1，3]，求m+n的值．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入函数的解析式，求出a，b的值即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数的单调性得到关于m、n的方程，求出m、n的值，从而求出m+n的值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{b}{x-a}$的图象过点A（0，$\frac{3}{2}$），B（3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{0-a}=\frac{3}{2}}\\{\frac{b}{3-a}=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$…（2分）
∴f（x）=$\frac{3}{x-2}$      …（4分）
（2）函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，
证明：任取x₂＞x₁＞2，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-2）{（x}_{2}-2）}$…（6分）
∵x₂＞x₁＞2，
∴x₂-x₁＞0，x₁-2＞0，x₂-2＞0，
∴$\frac{3{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-2）{（x}_{2}-2）}$＞0，得f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
函数f（x）在（2，+∞）上是单调递减函数    …（8分）
（3）∵m，n∈（2，+∞），
∴函数f（x）在[m，n]上单调递减，
∴f（m）=3，f（n）=1       …（10分）
∴$\frac{3}{m-2}$=3，$\frac{3}{n-2}$=1，
∴m=3，n=5，
∴m+n=8         …（12分）

点评 本题考查了求函数的解析式，函数的单调性以及函数的值域问题，是一道中档题．