Question

已知函数f（x）=（x²+bx+b）

1-2x

（b∈R）．g（x）=x+

a

x

+lnx（a∈R）．
（1）若f（x）在区间（0，

1

3

）上单调递增，求b的取值范围；
（2）当a≥2时，若存在x₁，x₂（x₁≠x₂），使得曲线y=g（x）在x=x₁与x=x₂处的切线互相平行，求证x₁+x₂＞8；
（3）当b=4时，若?x₁∈[-4，

1

2

]，?x₂∈（0，+∞），使f（x₁）+g（x₂）＜15，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数，令导数不小于0恒成立，即可得到b的范围；
（2）求出g（x）的导数，求得切线的斜率，再由条件得到等式，再由基本不等式，即可得证；
（3）b=4时，f（x）在-4≤x≤

1

2

时，f（x）_max=f（-4）=12，则原命题等价为?x＞0，x+

a

x

+lnx＜3，
即a＜（3x-x²-xlnx）_max，运用导数求出最大值即可．

解答： （1）解：函数f（x）的导数
f′（x）=（2x+b）

1-2x

+（x²+bx+b）•

1

2

•

1

1-2x

•(-2)
=

-5x2+(2-3b)x

1-2x

=

-5x(x- 2-3b 5 )

1-2x

≥0，对任意x∈（0，

1

3

）恒成立，
则

2-3b

5

≥

1

3

，即有b≤

1

9

；
（2）证明：g（x）的导数g′（x）=1-

a

x2

+

1

x

，
由已知可得，g′（x₁）=g′（x₂），
即有1-

a

x12

+

1

x1

=1-

a

x22

+

1

x2

，
即

x1-x2

x12x22

[a（x₁+x₂）-x₁x₂]=0，
即有a（x₁+x₂）=x₁x₂≤（

x1+x2

2

）²，
则x₁+x₂＞4a≥8，即x₁+x₂＞8；
（3）b=4时，f（x）=（x+2）²

1-2x

，
在-4≤x≤

1

2

时，f（x）_max=f（-4）=12，
则原命题等价为?x＞0，x+

a

x

+lnx＜3，
即a＜（3x-x²-xlnx）_max，
令h（x）=3x-x²-xlnx，h′（x）=2-2x-lnx，
x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减，0＜x＜1时，h′（x）＞0，
则h（1）取极大，也为最大，且为2，
故a＜2．

点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间和求极值、最值，考查函数的单调性及运用，考查不等式恒成立问题转化为求最值，属于中档题．