Question

已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l与抛物线交于M、N两点且满足

OM

•

ON

=-3．
（1）求抛物线Ω的方程；
（2）若直线y=x与抛物线Ω交于A、B两点，在抛物线Ω上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Ω在切点处有相同的切线？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设抛物线方程为：x²=2py，焦点为（0，

p

2

），直线l：y=kx+

p

2

，联立抛物线方程，消去y，运用两根之积，再由向量的数量积的坐标公式，得到方程，解出即可；
（2）求出点A，B，假设抛物线L：x²=4y上存在点C（t，

t2

4

）（t≠0且t≠4），使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N（a，b），由圆的半径相等，得到a，b用t表示，
再由切线的斜率与导数的关系，及两直线垂直的关系，得到a，b，t的方程，再将a，b代入，得到t的方程，解出t，即可得到结论．

解答： 解：（1）设抛物线方程为：x²=2py，
焦点为（0，

p

2

），直线l：y=kx+

p

2

，
代入抛物线方程，得到x²-2pkx-p2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁x₂=-p²，y_iy₂=

x12

2p

•

x22

2p

=

p2

4

，
由于

OM

•

ON

=-3，即有x₁x₂+y₁y₂=-3，
即有

p2

4

-p²=-3，解得p=2，
即有抛物线方程为x²=4y；
（2）由y=x和抛物线方程．联立求得A（0，0），B（4，4）．
假设抛物线L：x²=4y上存在点C（t，

t2

4

）（t≠0且t≠4），
使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．
设圆的圆心坐标为N（a，b），
∵

|NA|=|NB| |NA|=|NC|

，∴

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3

，
解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

，
∵抛物线L在点C处切线的斜率为k=y′|_x=t=

t

2

，而t≠0，且该切线与NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1，即2a+bt-2t-

1

4

t³=0．
将

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

代入上式，得t³-2t²-8t=0．
即t（t-4）（t+2）=0．∵t≠0且t≠4，∴t=-2．
故满足题设的点C存在，其坐标为 （-2，1）．

点评：本题考查抛物线方程和性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线，考查学生的综合能力，难度较大．