Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为

π

2

．
（1）当x∈（-

π

2

，

π

4

）时，求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移

π

6

个单位长度，再把横坐标缩短到原来的

1

2

（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简函数的解析式为f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

），由周期求得ω=2．再根据f（x）为奇函数，求得φ=

π

6

，可得f（x）=2sin2x，结合正弦函数的单调性求得f（x）在区间（-

π

2

，

π

4

）上的减区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2sin（4x-

π

3

），再根据x∈[-

π

12

，

π

6

]时，利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）的值域．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

）=2sin（ωx+φ-

π

6

），
且相邻两对称轴间的距离为

π

2

，可得 T=2×

π

2

=

2π

ω

，求得ω=2．
再根据f（x）为奇函数，可得φ-

π

6

=kπ，k∈z，即φ=kπ+

π

6

，故可取φ=

π

6

，故f（x）=2sin2x．
令2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，求得kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，可得f（x）的减区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈z．
再结合x∈（-

π

2

，

π

4

），可得减区间为[-

π

2

，-

π

4

]．
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移

π

6

个单位长度，可得函数y=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

）的图象；
再把横坐标缩短到原来的

1

2

（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin（4x-

π

3

）的图象，
当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，4x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，-1≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，∴g（x）∈[-2，

3

]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．