Question

4．已知函数f（x）=2|x+a|-|x-1|（a＞0）．
（1）若函数f（x）与x轴围成的三角形面积的最小值为4，求实数a的取值范围；
（2）对任意的x∈R都有f（x）+2≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）分段函数的形式，求出A，B，C的坐标，从而表示出三角形的面积，求出a的范围即可；（2）求出f（x）的最小值，从而得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-2a-1，x＜-a}\\{3x+2a-1，-a≤x＜1}\\{x+2a+1，x≥1}\end{array}\right.$，
如图示：
函数f（x）与x轴围成的△ABC，求得：
A（-2a-1，0），B（$\frac{1-2a}{3}$，0），C（-a，-a-1），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$[$[（\frac{1-2a}{3}）-（-2a-1）]×|-a-1|$=$\frac{2}{3}$（a+1）²≥4（a＞0），
解得：a≥$\sqrt{6}$-1；
（2）由（1）得：f（x）_min=f（-a）=-a-1，
对任意x∈R，都有f（x）+2≥0，即（-a-1）+2≥0，
解得：0＜a≤1．

点评 本题考查了绝对值函数，考查数形结合思想以及解不等式问题，是一道中档题．