Question

13．已知实数a＞0，b＞0，函数f（x）=|x-a|-|x+b|的最大值为3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=-x²-ax-b，若对于?x≥a均有g（x）＜f（x），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的性质求出f（x）的最大值是a+b，从而求出a+b的值即可；
（Ⅱ）根据a，b的范围，问题转化为x²+ax-a＞0在[a，+∞）恒成立，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x-a|-|x+b|≤|x-a-x-b|=|a+b|=3，
∵a＞0，b＞0，∴a+b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，0＜a＜3，0＜b＜3，
∴?x≥a，x-a≥0，x+b＞0，
此时，f（x）=x-a-x-b=-3，
若对于?x≥a均有g（x）＜f（x），
即x²+ax+b-3＞0在[a，+∞）恒成立，
即x²+ax-a＞0在[a，+∞）恒成立，
对称轴x=-$\frac{a}{2}$＜0，
故只需a²+a²-a＞0即可，
解得：a＞$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$＜a＜3．

点评 本题考查了绝对值的性质，考查绝对值不等式的解法以及函数恒成立问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．