Question

3．已知圆M的圆心在x轴上，圆M与直线y+2=0相切，且被直线x-y+2=0截得的弦长为2$\sqrt{2}$．
（1）求圆M的方程；
（2）已知F（$\sqrt{3}$，0），圆M在第一象限上的点P在x轴上的射影为Q，E为PQ中点，过E引圆x²+y²=1的切线，并延长交圆M于点N，证明：|EF|+|EN|为定值．

Answer 1

分析 （1）设圆的圆心为M（a，0），由题意圆的半径为r=2，利用被直线x-y+2=0截得的弦长为2$\sqrt{2}$，建立方程，求出a，即可求圆M的方程；
（2）分别求出|RN|，|EF|，|ER|，即可证明结论．

解答 （1）解：设圆的圆心为M（a，0），由题意圆的半径为r=2，
∵被直线x-y+2=0截得的弦长为2$\sqrt{2}$，
∴$（\frac{|a+2|}{\sqrt{2}}）^{2}+2=4$，
解得a=-4或0，
∴圆M的方程为（x+4）²+y²=4或x²+y²=4；
（2）证明：由题意，满足要求的圆M的方程为x²+y²=4．
设P（x，y），则E（x，$\frac{y}{2}$），
记直线EN与圆M相切于点R，则|RN|=$\sqrt{O{N}^{2}-O{R}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
|EF|=$\sqrt{（\sqrt{3}-x）^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}}$=$\frac{4-\sqrt{3}}{2}x$，|ER|=$\sqrt{O{E}^{2}-O{R}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴|EF|+|EN|=|EF|+ER|+|RN|=$\frac{4-\sqrt{3}}{2}x$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\sqrt{3}$=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．