Question

9．已知函数f（x）=-x|x-a|+1（x∈R）
（1）若函数f（x）恰有两个零点，求实数a的值；
（2）对于任意a∈（0，3），存在x₀∈[1，2]，使得不等式k≤f（x₀）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数与零点的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行判断即可．
（2）去绝对值符号，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+1，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax+1，x＜a}\end{array}\right.$，对a分情况讨论，0＜a≤1时，函数y=f（x）在区间[1，2]上递增，求出函数的最小值即可得到结论．

解答 解：（1）由f（x）=-x|x-a|+1=0得x|x-a|=1，
当x=0时方程无解，
则x≠0，则方程等价为|x-a|=$\frac{1}{x}$，
作出函数=|x-a|和y=$\frac{1}{x}$的图象如图：
当a≤0时，两个函数只有一个交点，
当a＞0时，若两个函数恰有两个交点，
则当x＜a时，两个函数相切，
即a-x=$\frac{1}{x}$有两个解，
即-x²+ax-1=0，
则判别式△=a²-4=0，
得a=2或a=-2，（舍）．
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax+1，x≥a\\-{x^2}+ax+1，x＜a\end{array}\right.$，
①当0＜a≤1时，x≥1≥a，这时，f（x）=x²-ax+1，对称轴$x=\frac{a}{2}≤\frac{1}{2}＜1$，
所以函数y=f（x）在区间[1，2]上递增，f（x）_min=f（1）=2-a；
②当1＜a≤2时，x=a时函数f（x）_min=f（a）=1；
③当2＜a＜3时，x≤2＜a，这时，f（x）=-x²+ax+1，对称轴$x=\frac{a}{2}∈（1，\frac{3}{2}）$，
∵f（1）=a，f（2）=2a-3，（2a-3）-a=a-3＜0
∴函数f（x）_min=f（2）=2a-3；
即函数的最小值f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{2-a}&{0＜a≤1}\\{1}&{1＜a≤2}\\{2a-3}&{2＜a＜3}\end{array}\right.$，
对应的图象如图：
则1≤[f（x）_min]≤3，
若不等式k≤f（x₀）成立，
则k≤1．

点评 本题考查二次函数在定区间上的最值问题和函数图象交点个数等知识，去绝对值求出函数的解析式，并对各段函数的最值的求解是解题的关键，考查运算能力和分析解决问题的能力，属难题．