Question

16．已知函数y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调减区间；
（3）当y取得最大值时，求自变量x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及变形、两角和的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由正弦函数的减区间和整体思想求出f（x）的单调减区间；
（3）由正弦函数的最大值和整体思想求出自变量x的集合．

解答 解：（1）由题意得，y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1
=$\frac{1}{4}$（1+cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+1=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}$，
由T=$\frac{2π}{2}=π$得，f（x）的最小正周期是π；
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调减区间是$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]（k∈Z）$；
（3）当$sin（2x+\frac{π}{6}）=1$ 时，函数y取得最大值是$\frac{7}{4}$，
此时$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，即$x=\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$，
∴自变量x的集合是{x|$x=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$}．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，考查整体思想，化简、变形能力．