Question

若数列{a_n}满足条件：存在正整数k，使得a_n+k+a_n-k=2a_n对一切n∈N^*，n＞k都成立，则称数列{a_n}为k级等差数列．
（1）已知数列{a_n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a₈+a₉的值；
（2）若a_n=2n+sinωn（ω为常数），且{a_n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{a_n}的前3n项和S_3n；
（3）若{a_n}既是2级等差数列{a_n}，也是3级等差数列，证明：{a_n}是等差数列．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由新定义结合已知求出a₈、a₉的值，则a₈+a₉的值可求；
（2）由a_n=2n+sinωn，且{a_n}是3级等差数列，列式得到2sinωn=2sinωncos3ω（n∈N^*），求得sinωn=0，或cos3ω=1．进一步求出ω的取值集合，求出ω的最小正值后求出an=2n+sin

2nπ

3

，得到a_3n-2+a_3n-1+a_3n=6（3n-1），然后利用分组求和求得S_3n；
（3）由{a_n}为2级等差数列，即a_n+2+a_n-2=2a_n，得到{a_2n-1}，{a_2n}均成等差数列，分别设出等差数列{a_2n-1}，{a_2n}的公差为d₁，d₂．由{a_n}为3级等差数列，即a_n+3+a_n-3=2a_n，得到{a_3n-2}成等差数列，设公差为D．由a₁，a₇既是{a_2n-1}中的项，也是{a_3n-2}中的项，a₄，a₁₀既是中{a_2n}的项，也是{a_3n-2}中的项列式得到a_2n=a₁+（2n-1）d（n∈N^*）．从而说明{a_n}是等差数列．

解答： （1）解：a₈=a₂+3（a₄-a₂）=0+3×（3-0）=9，
a₉=a₁+4×（a₃-a₁）=2+4×2=10，
∴a₈+a₉=19；
（2）∵{a_n}是3级等差数列，a_n+3+a_n-3=2a_n，
2（2n+sinωn）=2（n+3）+sin（ωn+3ω）+2（n-3）+sin（ωn-3ω）（n∈N^*），
∴2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn-3ω）=2sinωncos3ω（n∈N^*），
∴sinωn=0，或cos3ω=1．
sinωn=0对n∈N^*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．
cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），∴ω=

2kπ

3

(k∈Z)，
∴ω∈{ω|ω=

2kπ

3

(k∈Z)}∪{ω|ω=kπ(k∈Z)}．
∴ω最小正值等于

2π

3

，此时an=2n+sin

2nπ

3

，
由于sin

2(3n-2)π

3

+sin

2(3n-1)π

3

+sin

2(3n)π

3

=0（n∈N^*），
∴a_3n-2+a_3n-1+a_3n=6（3n-1）（n∈N^*）.S3n=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a3n-2+a3n-1+a3n)=

n[12+6(3n-1)]

2

=9n²+3n（n∈N^*）；
（3）证明：若{a_n}为2级等差数列，即a_n+2+a_n-2=2a_n，
则{a_2n-1}，{a_2n}均成等差数列，
设等差数列{a_2n-1}，{a_2n}的公差分别为d₁，d₂．
{a_n}为3级等差数列，即a_n+3+a_n-3=2a_n，
则{a_3n-2}成等差数列，设公差为D，
a₁，a₇既是{a_2n-1}中的项，也是{a_3n-2}中的项，
a₇-a₁=3d₁=2D．
a₄，a₁₀既是中{a_2n}的项，也是{a_3n-2}中的项，
a₁₀-a₄=3d₂=2D∴3d₁=3d₂=2D．
设d₁=d₂=2d，则D=3d．
∴a_2n-1=a₁+（n-1）d₁=a₁+（2n-2）d（n∈N^*），
a_2n=a₂+（n-1）d₂=a₂+（2n-2）d，（n∈N^*）．
又a₄=a₁+D=a₁+3d，a₄=a₂+d₂=a₂+2d，
∴a₂=a₁+d，
∴a_2n=a₁+（2n-1）d（n∈N^*）．
综合得：a_n=a₁+（n-1）d，
∴{a_n}为等差数列．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差数列的性质，是新定义题，关键是对k级等差数列概念的理解，考查了学生的逻辑思维能力和推理论证能力，是有一定难度题目．