Question

设，函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，求函数在上的最小值.

Answer 1

（1）切线方程为；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导函数的几何意义，结合直线的点斜式求出切线的方程；（2）先求出函数的导数，并求出方程的根，对是否在定义域内进行分类讨论，从而确定函数的增区间和减区间；（3）对是否在区间内进行分类讨论，从而确定函数的最小值，注意时，函数最小值的可能值为或，这时可对两式的值作差确定大小，从而确定两者的大小，从而确定函数在上的最小值.
试题解析：在区间上，，
（1）当时，，则切线方程为，即；
（2）①当时，，故函数为增函数，即函数的单调递增区间为；
②当时，令，可得，
当时，；当，，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）①当时，即当时，函数在区间上是减函数，
的最小值是；
②当时，即当时，函数在区间上是增函数，
的最小值是；
③当时，即当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以的最小值产生于与之间，又，
当时，最小值为；
当时，最小值为，
综上所述，当时，函数的最小值是，
当时，函数的最小值是.