Question

已知函数，
（1）求在处切线方程；
（2）求证：函数在区间上单调递减；
（3）若不等式对任意的都成立，求实数的最大值.

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）

试题分析：（1）先求导函数，再求，再用点斜式方程求切线方程；（2）要证明函数在区间上单调递减，只需证明在恒成立，先求导，分母大于0，只需证明分子小于0恒成立，构造函数，说明其最大值小于0即可，这样就把问题转化为求函数的最大值问题了，继续求导，发现，故递减，所以；
（3）恒成立问题可以考虑参变分离，两边取自然对数得，从而参变分离为，只需用导数求右边函数的最小值即可，为了便于求导可换元，设，则，进而用导数求其最小值.
试题解析：（1）由已知切线方程；
（2），令=， ， 在（0,1）上是减函数；
（3） 两边取对数 即，令 设，设， 由（2）知函数在区间上单调递减，在上是减函数，在上是减函数 即.