Question

已知函数， 在上为增函数，且，求解下列各题：
（1）求的取值范围；
（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）； （3）

试题分析：（1）在上为增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.由于分母恒大于0，故在上恒成立，而这只需 的最小值即可.由此可得的取值范围；
（2）在上为单调增函数，则其导数大于等于0在恒成立，变形得在恒成立.与（1）题不同的是，这里不便求的最小值，故考虑分离参数，即变形为.这样只需大于等于的最大值即可.而，所以；
（3）构造新函数＝，这样问题转化为：在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．而这只要的最大值大于0即可.
试题解析：（1）∵在上为增函数
∴在上恒成立，即在上恒成立
又
∴在上恒成立                     2分
只须，即，由有            3分
　　　 ∴                        4分
（2）由（1）问得

在上为单调增函数
在恒成立                      6分
∴即，而
在恒成立时有，即函数在上为单调增函数时，的范围为；                       8分
（3）由（1）问可知，，可以构造新函数＝              10分
①.当时，，
所以在上不存在一个，使得成立．        11分
②.当时， 
∵　　　∴，，所以在恒成立．
故在上单调递增，
∴只需满足，解得                13分
故的取值范围是                      14分