Question

设函数.
（1）当，时，求函数的最大值；
（2）令，其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；
（3）当，时，方程有唯一实数解，求正数的值.

Answer 1

（1）函数的最大值为；（2）实数的取值范围是；（3）.

试题分析：（1）将，代入函数的解析式，然后利用导数求出函数的最大值；（2）先确定函数的解析式，并求出函数的导数，然后利用导数的几何意义将问题转化为，利用恒成立的思想进行求解；（3）方法一是利用参数分离，将问题转化为方程、有且仅有一个实根，然后构造新函数，利用导数求出函数的极值从而求出参数的值；方法二是直接构造新函数，利用导数求函数的极值，并对参数的取值进行分类讨论，从而求出参数的值.
试题解析：（1）依题意，的定义域为，
当，时，，，
由 ，得，解得；
由 ，得，解得或.
，在单调递增，在单调递减；
所以的极大值为，此即为最大值；
（2），，则有在上有解，
∴，
，
所以当时，取得最小值，；
（3）方法1：由得，令，，
令，，∴在单调递增，
而，∴在，，即，在，，即，
∴在单调递减，在单调递增，
∴极小值为，令，即时方程有唯一实数解.
方法2：因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则，令，
因为，，所以（舍去），，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，取最小值.
若方程有唯一实数解，
则必有 即 
所以，因为所以              12分
设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.
∵，∴方程(*)的解为，即，解得.