Question

已知为函数图象上一点，为坐标原点，记直线的斜率．
（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：

Answer 1

（1）实数的取值范围是；（2）实数的取值范围是；（3）详见解析.

试题分析：（1）先利用导数求出函数的解析式，并利用导数求出函数的极值点，并将极值点限制在区间内，得出有关的不等式，求解出实数的取值范围；（2）利用参数分离法将问题在区间上恒成立转化为不等式在区间上恒成立，构造新函数，从而将问题转化为，借助导数求函数的最小值，从而得到实数的取值范围；（3）取，由（2）中的结论，即在上恒成立，从而得到在上恒成立，，令，代入上述不等式得到，结合累加法即可证明不等式.
试题解析：（1）由题意，               1分
所以                   2分
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值．                      3分
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以，得．即实数的取值范围是．        4分
（2）由得，令，
则．                           6分
令，则，
因为所以,故在上单调递增．        7分
所以,从而
在上单调递增,
所以实数的取值范围是．                    9分
（3）由(2) 知恒成立,
即         11分
令则，        12分
所以， ，  ,．
将以上个式子相加得：
，
故．               14分
（解答题的其他解法可酌情给分）