Question

已知函数.
（1）当时，试确定函数在其定义域内的单调性；
（2）求函数在上的最小值；
（3）试证明：.

Answer 1

（1）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求出函数的定义域求出，然后将代入函数的解析式，求出导数，并利用导数求出函数的减区间与增区间 ；（2）求出，并求出方程的，对的符号以及是否在区间内进行分类讨论，结合函数的单调性确定函数在上的最小值；（3）利用分析法将不等式等价转化为，然后令，将原不等式等价转化为在，利用（1）中的结论进行证明.
试题解析：（1）函数的定义域为，当时，，则，
解不等式，得；解不等式，得，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2），，
当时，，，此时函数在区间上单调递减，
函数在处取得最小值，即；
当时，令，
当时，即当，，，此时函数在区间上单调递减，
函数在处取得最小值，即；
当，即当时，当，，当时，，
此时函数在处取得极小值，亦即最小值，
即，
综上所述，；
（3）要证不等式，即证不等式，即证不等式，
即证不等式，
令，则 则，故原不等式等价于，
即不等式在上恒成立，
由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，
即函数在区间上单调递增，故，
故有，因此不等式在上恒成立，故原不等式得证，
即对任意，.