Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）试求线段MN与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（空间向量）依条件可知AB，AC，AA₁两两垂直．以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．求出相关点的坐标，
（Ⅰ）利用

MN

•

AB

=0，得到

MN

⊥

AB

．通过

AB

是平面ACC₁A₁的一个法向量，推出MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）求出平面ABC的法向量是

n

=(x，y，z)，利用法向量与向量

MN

=(-

1

2

，0，-2)的夹角，求解所求线面所成角的余弦值．
（逻辑推理）（Ⅰ）作出AC的中点D，连结DN，A₁D．通过证明四边形A₁DNM是平行四边形，得到MN∥A₁D，利用直线与平面平行的判定定理证明MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）作出AB的中点F说明∠MNF就是所求的线面所成角，解三角形即可．

解答： 解：（空间向量）依条件可知AB，AC，AA₁两两垂直．如图，
以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
依条件可知AB，AC，AA₁两两垂直．
如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A₁（0，0，2），B₁（0，2，2），C₁（-1，0，2），M（0，1，2），N(-

1

2

，1，0)．
（Ⅰ）因为

AB

=(0，2，0)，

AC1

=(-1，0，2)，
因为

MN

=(-

1

2

，0，-2)，

AB

=(0，2，0)，所以

MN

•

AB

=-

1

2

×0+0×2-2×0=0，
从而

MN

⊥

AB

．
又因为

AB

=(0，2，0)是平面ACC₁A₁的一个法向量，且MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）

BC

=(-1，-2，0)，

AB

=(0，2，0)设平面ABC的法向量是

n

=(x，y，z)
由

n

•

BC

=0，

n

•

AB

=0，知法向量可以是

n

=(0，0，1)，它与向量

MN

=(-

1

2

，0，-2)的夹角满足：cosθ=

n • MN

| MN || n |

=-

4

17

，
所以所求线面所成角的余弦值是

1

17

．
（逻辑推理）（Ⅰ）如图

作出AC的中点D，连结DN，A₁D．
∵D，N分别是AC，BC的中点
∴DN∥AB且DN=

1

2

AB，
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，
∴AB∥A₁B₁且AB=A1BA
又∵M是A₁B₁的中点，
∴A1M=

1

2

A1B1=

1

2

AB=DN，
∵DN∥AB，AB∥A₁B₁
∴DN∥A₁M∴四边形A₁DNM是平行四边形
∴MN∥A₁D
∵MN?平面ACC1，A₁A₁D?平面ACC₁A₁
∴MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）如图

作出AB的中点F∵N，F分别是BC，AB的中点∴NF∥AC，NF=

1

2

AC=

1

2

又∵M是A₁B₁的中点，
∴MF∥AA₁，MF=AA₁=2
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，
∴MF⊥面ABC，MF⊥NF
∴∠MNF就是所求的线面所成角．
∴cosMEN=

NF

MN

=

1 2

1 4 +4

=

1

17

点评：本题用两种方法证明直线与平面平行，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．