Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件列出方程，求出数列的首项与公差，然后求数列{a_n}的通项公式；
（2）化简b_n=2ⁿ•a_n，利用错位相减法，直接求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设公差为d（d≠0），由S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比数列得，7a1+21d=70，(a1+d)2=a1(a1+5d)（d≠0）
解得a₁=1，d=3，∴a_n=3n-2…．（6分）
（2）由（1），Tn=1×2+4×22+7×23+…+(3n-5)•2n-1+(3n-2)•2n∴2Tn=1×22+4×23+7×24+…+(3n-5)•2n+(3n-2)•2n+1
相减得，-Tn=2+3×22+3×23+…3•2n-(3n-2)•2n+1
=2+

12(1-2n-1)

1-1

-(3n-2)•2n+1
=（5-3n）•2ⁿ⁺¹-10
∴Tn=(3n-5)•2n+1+10…（12分）

点评：本题考查干错事了的通项公式的求法，错位相减法的应用，考查数列求和方法的应用，基本知识与基本方法的考查．