Question

如图，四棱锥E-ABCD，已知四边形ABCD为菱形，△AEC所在的平面垂直于平面ABCD，且∠EAC=∠BAD=60°，AD=2

3

，AE=4，F为AD的中点，G、H分别为EC、CD上的点，且满足

EG

GC

=3，

CD

CH

=2．
（1）求证：EB⊥AD；
（2）求证：直线GH∥平面BEF．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）只要证明BF⊥AD，AF⊥EF，利用线面垂直的判定得到AD⊥平面EFB，利用线面垂直的性质可证；
（2）证明：过D作DO∥GH，交EC与O，则O是EC 的中点，过O 作OM∥BC，交EB于M，连接MF，只要证明四边形DCMF是平行四边形，利用平行四边形的性质得到线线平行，再由线面平行的判定定理可得．

解答： （1）证明：因为四边形ABCD为菱形，△AEC⊥平面ABCD，且∠EAC=∠BAD=60°，AD=2

3

，AE=4，F为AD的中点，
所以BF⊥AD，cos∠EAF=cos∠EAC．cos∠CAD=

1

2

×

3

2

=

3

4

，
所以EF²=AE²+AF²-2AE×AF×

3

4

=16+3-6=13，
所以AF²+EF²=AB²，
所以AF⊥EF，
所以AD⊥平面EFB，
所以AD⊥EB；
（2）证明：过D作DO∥GH，交EC与O，则O是EC 的中点，过O 作OM∥BC，交EB于M，连接MF，
则OM∥BC，OM=

1

2

BC=DF，
所以四边形DCMF是平行四边形，
所以OD∥MF，
所以GH∥MF，
又GH?平面BEF，MF?平面BEF，
所以GH∥平面BEF．

点评：本题考查了线面垂直的性质定理的运用以及线面平行的判定，关键是将所求转化为线线问题解决，属于难题