Question

已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线l交抛物线于A、B两点，且|AB|=5．
（1）求此抛物线方程；
（2）若M（1，2）是抛物线上一点，求

MA

 • 

MB

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,函数的零点,平面向量数量积的运算,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，写出直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出写出，即可求此抛物线方程；
（2）利用（1）消元后的方程，通过韦达定理，结合

MA

 • 

MB

的坐标表示即可求解数量积的值．

解答： 解：（1）因焦点F(

p

2

， 0)，所以直线l的方程为y=2(x-

p

2

)
由

y=2(x- p 2 ) y2=2px

消去y得4x²-6px+p²=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

3p

2

，
∴|AB| =x1+x2+p=

5p

2

=5，∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．（6分）
（2）方程①化为 x²-3x+1=0∴x₁+x₂=3，x₁x₂=1，
直线l的方程为y=2x-2，
∴

MA

 • 

MB

=(x1-1，y1-2)(x2-1，y2-2)
=（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）
=（x₁-1）（x₂-1）+（2x₁-4）（2x₂-4）
=5x₁x₂-9（x₁+x₂）+17
=5-27+17
=-5（12分）

点评：本题考查抛物线与直线方程的综合应用，写出公式的求法，向量的数量积的求法，考查转化思想以及计算能力．