Question

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）＞kx-k对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（Ⅲ）若a_k=2ln2+3ln3+…+klnk（k≥3，k∈N^*），证明：

n

k=3

1

ak

＜1（n≥k，n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，由此能求出a．
（Ⅱ）f（x）＞kx-k对任意x＞1恒成立，即k＜

x+xlnx

x-1

对任意x＞1恒成立，求出右边的最小值，即可求得k的最大值．
（Ⅲ）由（II）知xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N^*），叠加，求出a_k＞（k-1）²，再利用放缩法，裂项求和，即可得出结论．

解答： 解：（I）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，
∴a=1；
（II）由（I）知，f（x）=x+xlnx，
∴f（x）＞kx-k对任意x＞1恒成立，即k＜

x+xlnx

x-1

对任意x＞1恒成立．
令g（x）=

x+xlnx

x-1

，则g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
则h′（x）=

x-1

x

＞0，
∴函数h（x）在（1，+∞）上单调增加，
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x₀，满足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
∴[g（x）]_min=g（x₀）=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x₀∈（3，4），
∴k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4），
故整数k的最大值是3．
（III）由（II）知xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N^*），则有
2ln2＞2•2-3，3ln3•3-3，…，klnk＞2k-3，
将上面各式相加得2ln2+3ln3+…+klnk＞2（2+3+…+k）-3（k-1）=（k-1）²，
即a_k＞（k-1）²，
故

1

ak

＜

1

(k-1)2

＜

1

(k-1)(k-2)

=

1

k-2

-

1

k-1

（k≥3），
∴

n

k=3

1

ak

＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-2

-

1

n-1

=1-

1

n-1

＜1．

点评：本题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，属于中档题．