Question

设函数g（x）=ax²+bx+c（a＞0），且g（1）=-

a

2

（1）求证：函数g（x）有两个零点
（2）设m，n是函数g（x）的两个零点，求|m-n|的取值范围
（3）讨论函数g（x）在区间（0，2）内的零点个数．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,二次函数的性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）法一：利用数形结合的思想证明，法二：由g(1)=a+b+c=-

a

2

得b=-

3

2

a-c；利用判别式法证明；
（2）由m，n是函数g（x）的两个零点可得ax²+bx+c=0的两根为m，n；从而利用韦达定理求解；
（3）要知道函数在（0，2）上的零点个数，结合g(1)=-

a

2

＜0；故只需要知道g（0）和g（2）的正负问题，g(0)g(2)=ac-c2=a2(

c

a

-

c2

a2

)，从而可知由

c

a

的取值决定，从而分类讨论即可．

解答： 解：（1）证明：（法一）由题意，∵a＞0，
∴g(1)=-

a

2

＜0，g（x）为二次函数且开口向上；
∴结合函数图象可知函数g（x）有两个零点；
（法二）由g(1)=a+b+c=-

a

2

得，
b=-

3

2

a-c；
∴△=b2-4ac=

9

4

a2-ac+c2=

9

4

[(a-

2c

9

)2+

32

81

c2]＞0；
∴函数g（x）有两个零点；
（2）∵m，n是函数g（x）的两个零点，
∴ax²+bx+c=0的两根为m，n；
∴m+n=-

b

a

，mn=

c

a

；
∴|m-n|2=(m+n)2-4mn=

b2-4ac

a2

=

9

4

-

c

a

+(

c

a

)2=(

c

a

-

1

2

)2+2≥2；
∴|m-n|的范围为(

2

，+∞)；
（3）∵g(1)=-

a

2

＜0，g(0)g(2)=ac-c2=a2(

c

a

-

c2

a2

)；
①当

c

a

＜0或

c

a

＞1，即c＜0或c＞a时，g（0）g（2）＜0在（0，2）上此时有一个零点；
②当

c

a

=0或

c

a

=1，即c=0或c=a时，因为g(1)=-

a

2

＜0在（0，2）上此时有一个零点；
③当0＜

c

a

＜1，即0＜c＜a时，g（0）=c＞0，g（2）=4a+2b+c=a-c＞0；
因为g(1)=-

a

2

＜0所以在（0，2）上此时有两个零点．

点评：本题考查了二次函数的性质与图象的应用，属于中档题．