Question

17．在梯形ABCD中AB∥CD，AD=CD=CB=2，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）求二面角B-EF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，推导出∠DGH是二面角B-EF-D的平面角，由此能求出二面角B-EF-D的平面角余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=a，∠ABC=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，∴AC⊥BC，
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．
解：（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，
由题意得DE=DF，∴DG⊥EF，
∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，
 又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，
又∵GH∥FB，∴EF⊥GH，
∴∠DGH是二面角B-EF-D的平面角．
在△BDE中，DE=2$\sqrt{2}$，DB=2$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BE²=DE²+DB²，∴∠EDB=90°，∴DH=$\sqrt{5}$，
又DG=$\sqrt{5}$，GH=$\sqrt{2}$，∴在△DGH中，由余弦定理得cos∠DGH=$\frac{D{G}^{2}+G{H}^{2}-D{H}^{2}}{2DG•GH}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
即二面角B-EF-D的平面角余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、数形结合思想、转化思想以及计算能力，是中档题．