Question

1．设p：函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-a{x^2}+2x+1$ 在区间[1，2]上是单调增函数，设q：方程（2a²-3a-2）x²+y²=1表示双曲线，“p 且q”为真命题，则实数a 的取值范围为$（{-\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 若“p 且q”为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得满足条件的实数a 的取值范围．

解答 解：若命题p：函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-a{x^2}+2x+1$ 在区间[1，2]上是单调增函数为真命题，
则f′（x）=x²-2ax+2≥0在区间[1，2]上恒成立，
即a≤$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$在区间[1，2]上恒成立，
由y=$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$在区间[1，$\sqrt{2}$]上为减函数，在[$\sqrt{2}$，2]上为增函数，
故当x=$\sqrt{2}$时，y取最小值$\sqrt{2}$，
故a≤$\sqrt{2}$．
若方程（2a²-3a-2）x²+y²=1表示双曲线，
则2a²-3a-2＜0，
解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜2，
若“p 且q”为真命题，则命题p，q均为真命题，
故a∈$（{-\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]$，
故答案为：$（{-\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]$．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，函数的最值，双曲线的方程，难度中档．