Question

函数f（x）=

a

x

+lnx-1（a是常数），
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e]上有两解，求m的取值范围；（e≈2.71828）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，分别讨论a的范围，从而求出函数的单调区间，（2）把a=1代入函数，求出f（x）在[

1

e

，e]的极值点，从而求出m的范围．

解答： 解：（1）f′（x）=

x-a

x2

．
当a≤0时，在定义域（0，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，即f（x）单调增区间为 （0，+∞）；
当a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，即f（x）单调减区间为 （0，a）；
在（a，+∞）上，f′（x）＞0，即f（x）单调增区间为 （a，+∞）．
（2）当a=1时，f′（x）=

x-1

x2

，其中x∈[

1

e

，e]，
而x∈[

1

e

，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，e]时，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[

1

e

，e]上唯一的极小值点，
∴[f（x）_min=f（1）=0]． 又∵f（

1

e

）=e-2，f（e）=

1

e

，
f（

1

e

）-f（e）=e-2-

1

e

=

e(e-2)-1

e

＞0，
综上，当a=1时，当方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e]上有两解，m的取值范围为0＜m≤

1

e

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，考查分类讨论，是一道中档题．