Question

13．已知f（x）=e^x+ax（a∈R）
（ I）求f（x）的单调区间；
（ II）已知常数a＞-e，求证：对于?x∈（1，+∞），都有f（x）＞（x-1）²恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-（x-1）²=e^x+ax-x²+2x-1，求出函数的导数，设h（x）=e^x+a-2x+2，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x+a（1分）
当a≥0时，因为f'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上单增，（2分）
当a＜0时，令f'（x）=0，得x=ln（-a），
f（x）在（-∞，ln（-a））上单减，在（ln（-a），+∞）上单增，
综上：当a≥0时，增区间为（-∞，+∞）；
当a＜0时，减区间为（-∞，ln（-a）），增区间为（ln（-a），+∞）．（4分）
（Ⅱ）证明：设g（x）=f（x）-（x-1）²=e^x+ax-x²+2x-1，g'（x）=e^x-2x+a+2，（6分）
设h（x）=e^x+a-2x+2，∵h'（x）=e^x-2＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）单调递增，（8分）
∵h（x）＞h（1）=e+a＞0，∴g'（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
即g（x）在（1，+∞）上单调递增，（10分）
∴g（x）＞g（1）=e+a＞0，所以对?x∈（1，+∞），都有f（x）＞（x-1）²恒成立．（12分）

点评 本题主要考查函数与导数的知识，考查学生解决问题的综合能力．