Question

已知直线y=

2

2

x与椭圆在第一象限交于M点，又MF₂⊥x轴，F₂是椭圆右焦点，另一个焦点为F₁，若

MF1

•

MF2

=2，求椭圆的标准方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意知道，焦点在x轴上，设出标准方程，再得到M的坐标，根据数量积，求出c的值，再根据点M在椭圆上，和椭圆的性质，求出a²，b²的值，问题得以解决

解答： 解：∵MF₂⊥x轴，F₂是椭圆右焦点，另一个焦点为F₁，
∴焦点在x轴上，
可设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），设焦点F₂是的坐标为（c，0），F₁是的坐标为（-c，0），
∵直线y=

2

2

x与椭圆在第一象限交于M点，
∴点M的坐标为（c，

2

2

c），
∴

MF1

=（-2c，-

2

2

c），

MF2

=（0，

2

2

c），
∵

MF1

•

MF2

=2，
∴

1

2

c²=2，
∴c=2，
∴点M的坐标为（2，

2

），
∵点M在椭圆上，
∴

4

a2

+

2

b2

=1，
∵a²=b²+c²，
∴a²=8，b²=4，
故椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1

点评：本题考查了椭圆的定义和性质，以及向量的数量积的运算，属于基础题