题目内容
已知在△ABC中，AB=AC，∠CAB=
，M为△ABC的外心，且
=λ
+μ
，则λ+2μ= ．
| π |
| 6 |
| CM |
| CA |
| CB |
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：连接AM，BM，延长AM交BC于D，所以根据已知条件即知D为BC边的中点，并且AD⊥BC，∠BMC=
，所以△MBC是等边三角形，设外接圆半径为r，在
=λ
+μ
两边同乘以
，根据数量积的计算公式并结合图形可得到
r2=
r2+μr2，所以到这即求出了λ+2μ=1．
| π |
| 3 |
| CM |
| CA |
| CB |
| CB |
| 1 |
| 2 |
| λ |
| 2 |
解答：
解：如图，连接AM，BM，延长AM交BC于D，由已知条件知D为BC中点，且AD⊥BC；
∵∠CAB=
，∴∠BMC=
，又MB=MC；
∴△MBC为等边三角形，设外接圆半径为r，则|BC|=r；
∴
•
=λ
•
+μ
2；
∴
r2=
r2+μr2；
∴λ+2μ=1．
故答案为：1．
∵∠CAB=| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴△MBC为等边三角形，设外接圆半径为r，则|BC|=r；
∴
| CM |
| CB |
| CA |
| CB |
| CB |
∴
| 1 |
| 2 |
| λ |
| 2 |
∴λ+2μ=1．
故答案为：1．
点评：考查三角形外接圆的概念，以及圆心角和圆周角的关系，以及数量积的计算公式：
•
=|
||
|cos＜
，
＞．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
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