Question

定义域为R的函数f（x）=f（x+2k）（k∈Z）及f（-x）=-f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；
（2）求证：f（x）在x∈（0，1）上是减函数．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先根据f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数；然后求出当x∈（-1，0）时，f（x）的解析式；再由奇函数的性质，进而求出f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式即可；
（2）根据函数的单调性的定义，令x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，证出f（x₁）-f（x₂）＞0，即可推得f（x）在x∈（0，1）上是减函数．

解答： 解：（1）根据f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数；
则f（0）=0，f（-1）=-f（1），
又f（x）=f（x+2k）（k∈Z），则f（-1）=f（-1+2）=f（1），
所以f（-1）=f（1）=0，
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
所以f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
可得f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

；
当x∈（2k-1，2k）（k∈Z）时，x-2k∈（-1，0），f（x）=f（x-2k）=-

2x-2k

4x-2k+1

，
当x∈（2k，2k+1）（k∈Z）时，x-2k∈（0，1]），f（x）=f（x-2k）=

2x-2k

4x-2k+1

，
因此f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式为：f(x)=

- 2x-2k 4x-2k+1 ，x∈(2k-1，2k)、 0，x=0、±1 2x-2k 4x-2k+1 ，x∈(2k，2k+1)

；
（2）令x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
因为x₁＜x₂，而且x₁、x₂∈（0，1），
所以2x2＞2x1，2x1+x2＞1，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，
因此f（x）在x∈（0，1）上是减函数．

点评：本题主要考查了函数的单调性的判断及证明，奇函数的性质的应用，考查了函数解析式的求法，属于中档题．