Question

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AC=2，AB=3，EC=

5

2

，则AD的长为

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以△BDE∽△BCA，由此能够证明BE=

3

2

DA，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB-AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．

解答： 解：连接DE，
∵ACED是圆的内接四边形，
∴∠BDE=∠BCA，
∵∠DBE=∠CBA，
∴△BDE∽△BCA，
∴

BE

BA

=

DE

CA

，
∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，
∵AC=2，AB=3，EC=

5

2

，
∴3DA=2BE，即BE=

3

2

DA，
设AD=DE=t，则BE=

3

2

t，
根据割线定理得BD•BA=BE•BC，
∴（AB-AD）•BA=2AD•（2AD+CE），
∴（3-t）×3=

3

2

t（

3

2

t+

5

2

），
∴3t²+4t-7=0，
解得t=1，或t=-

7

3

（舍），即AD=1．
故答案为：1．

点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意圆的内接四边形的性质和切割线定理的合理运用．