Question

函数y=lnx+x²的图象与函数y=3x-b的图象有3个不同的交点，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：转化思想,导数的综合应用

分析：将两函数图象交点的个数转化为方程解的个数，由条件即等价为方程lnx+x²-3x+b=0有三个不同的实数解，
然后构造函数f（x）=lnx+x²-3x+b（x＞0），运用导数求出极值点，根据和x轴有三个交点，再令极大值大于0，极小值小于0，解关于b的不等式组即可．

解答： 解：函数y=lnx+x²的图象与函数y=3x-b的图象有3个不同的交点，
等价为方程lnx+x²-3x+b=0有三个不同的实数解，
令f（x）=lnx+x²-3x+b（x＞0），
则f′（x）=

1

x

+2x-3
即f′（x）=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
令f′（x）=0，
解得x=

1

2

或 x=1，
由f′（x）＜0，解得

1

2

＜x＜1，
由f′（x）＞0，解得x＞1或x＜

1

2

，但x＞0，
∴f（x）在（0，

1

2

），（1，+∞）单调递增，
f（x）在（

1

2

，1）单调递减，
∴f（x）在x=

1

2

取极大值，x=1取极小值，
∵f（x）的图象与x轴有3个交点，
∴

f( 1 2 )＞0 f(1)＜0

即

ln 1 2 + 1 4 - 3 2 +b＞0 1-3+b＜0

，
∴

5

4

+ln2＜b＜2．
故答案为：（

5

4

+ln2，2）．

点评：本题主要考查图象交点个数问题转化为方程解的个数，通过构造函数，应用导数求单调性，求极值，由图象与x轴的交点个数，确定极值的符号，解含参的不等式组．这是解决图象交点个数的常用方法，应掌握．