Question

设函数f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+（1-2a）x，a，b∈R，a≠0，
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与x轴相切于异于原点的一点，且函数f（x）的极小值为-

4

3

a，求a，b的值；
（Ⅱ）若x₀＞0，且

a

x0+2

+

b

x0+1

+

1-2a

x0

=0，
    ①求证：af′（

x0

x0+1

）＜0； 
    ②求证：f（x）在（0，1）上存在极值点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）依据题意得：f(x)=

a

3

x(x+

3b

4a

)2，令f′(x)=a(x+

3b

4a

)(x+

b

4a

)=0，解出x，结合图形，得到极小值，解出方程即可得到a，b的值；
（Ⅱ）①f′（x）=ax²+bx+（1-2a），整理得到af′（

x0

x0+1

）=

-a2x0

(x0+1)2(x0+2)

＜0；
②f′（0）=1-2a，f′（1）=1-a+b．对a分类讨论，依据①得到导数f′（

x0

x0+1

）的正负，再由函数零点的存在性定理，即可得证．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

a

3

x[x2+

3b

2a

x+

3(1-2a)

a

]，
依据题意得：f(x)=

a

3

x(x+

3b

4a

)2，且

9b2

16a2

=

3-6a

a

≠0，
f′(x)=a(x+

3b

4a

)(x+

b

4a

)=0，得x=-

3b

4a

或x=-

b

4a

．
如图，得f(-

b

4a

)=-

4

3

a，
∴

a

3

(-

b

4a

)(-

b

4a

+

3b

4a

)2=-

4a

3

，则b=4a，
代入

9b2

16a2

=

3-6a

a

得，b=

4

5

．
（Ⅱ）①证明：f′（x）=ax²+bx+（1-2a）．
a f′(

x0

x0+1

)=a[a(

x0

x0+1

)2+

bx0

x0+1

+(1-2a)]
=ax0[

ax0

(x0+1)2

+

b

x0+1

+

1-2a

x0

]=ax0[

ax0

(x0+1)2

-

a

x0+2

]=

-a2x0

(x0+1)2(x0+2)

＜0．
②f′（0）=1-2a，f′（1）=1-a+b．
若0＜a＜

1

2

，则f′（0）=1-2a＞0，由①知f′（

x0

x0+1

）＜0，
所以f′（x）在（0，

x0

x0+1

）有零点，从而f（x）在（0，1）上存在极值点．   
若a≥

1

2

，由①知f′（

x0

x0+1

）＜0，
又f′（1）=1-a+b=1-a-

a(x0+1)

x0+2

-

(1-2a)(x0+1)

x0

=

(3a-1)x0+2(2a-1)

(x0+2)x0

＞0，
所以f′（x）在（0，

x0

x0+1

）有零点，从而f（x）在（0，1）上存在极值点．
若a＜0，由①知f′（

x0

x0+1

）＞0，f′（1）=1-a+b=

(3a-1)x0+2(2a-1)

(x0+2)x0

＜0，
所以f′（x）在（0，

x0

x0+1

）有零点，从而f（x）在（0，1）上存在极值点．
综上知f（x）在（0，1）上存在极值点．

点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强．