Question

如图，已知B、C是以原点O为圆心，半径为1的圆与x轴的交点，点A在劣弧

PQ

（包含端点）上运动，其中∠POx=60°，OP⊥OQ，作AH⊥BC于H．若记

AH

=x

AB

+y

AC

，则xy的取值范围是（　　）

• A、(0，

  1

  4

  ]
• B、[

  1

  16

  ，

  1

  4

  ]
• C、[

  1

  16

  ，

  3

  16

  ]
• D、[

  3

  16

  ，

  1

  4

  ]

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：综合题,平面向量及应用

分析：由三角函数定义，可设A（cosθ，sinθ），则H（cosθ，0），θ∈[

π

3

，

5π

6

]，利用

AH

=x

AB

+y

AC

，求出x，y，表示出xy，即可求出其取值范围．

解答： 解：由题意，B（1，0），C（-1，0），
由三角函数定义，可设A（cosθ，sinθ），则H（cosθ，0），θ∈[

π

3

，

5π

6

]．
∴

AH

=(0，-sinθ)，

AC

=(-1-cosθ，-sinθ)，

AB

=(1-cosθ，-sinθ)，
由

AH

=x

AB

+y

AC

，可得

0=x(-1-cosθ)+y(1-cosθ) -sinθ=-xsinθ-ycosθ

，
∴

x= 1-cosθ 2 y= 1+cosθ 2

，
∴xy=

1-cosθ

2

•

1+cosθ

2

=

1

4

sin2θ，
由θ∈[

π

3

，

5π

6

]，知xy∈[

1

16

，

1

4

]，
故选：B．

点评：本题考查平面向量基本定理，考查三角函数知识，考查学生的计算能力，正确表示出x，y是关键．